標本平均の分布

標本を取り直すたびに、標本平均は少しずつ変わります。標本平均の期待値は母平均と同じで、分散は母分散を標本の大きさnで割った値です。標本平均の標準偏差を標準誤差と呼び、母標準偏差÷√nで求めます。母標準偏差20、n＝100なら標準誤差は2です。

中心極限定理と大数の法則

母集団が正規分布でなくても、nが大きければ標本平均の分布は正規分布に近づきます（中心極限定理）。大数の法則は、nを大きくすると標本平均が母平均に近づくことです。

二項分布の正規近似

nが大きい二項分布は、平均np、分散np(1−p)の正規分布で近似できます。離散の値を連続の分布で近似するので、境目を0.5ずらす連続修正を使うと精度が上がります。n＝100、p＝0.5で60回以上になる確率は、正確には約0.028、連続修正をした近似で約0.029、修正なしで約0.023です。

標本比率の分布

標本比率の期待値は母比率p、分散は p(1−p)÷n です。パート2の比率の推定と検定の土台になります。

チェビシェフの不等式

どんな分布でも、平均から標準偏差のk倍以上離れる確率は1÷k²以下です。

• 標本平均の期待値・分散・標準誤差
• 中心極限定理と大数の法則
• 二項分布の正規近似と連続修正
• 標本比率の分布とチェビシェフの不等式